ベクトルのイメージ

 線形代数で基本的なベクトルは、方向と大きさを持つもので位置に依存しない「矢印」のようなイメージで説明されることがある。また、力のようなものとも説明される。

経験上、力の合成の特徴は簡単には、

　･同じ力が同じ方向だと2倍の力、

　･少し角度があると、合成力は2倍よりも弱くなり、方向は二つの力の方向の間、

　･反対向きだと0、

などがある。これらの特徴を端的に表すのが矢印表記である。

矢印の長さが力の大きさを表し、矢印の方向が力の方向を表す。

そうすると、2個の力を合成した力(合成力)は

始点を合わせた2本の矢印が作る平行四辺形の

　対角線の長さが合成力の大きさ

　対角線の方向が合成力の方向

になる。

さて、成分を並べて表示したものをベクトルと呼び、力もその一種とみなす。

並べる方向を明示する時には横ベクトル、縦に並べると縦ベクトルを言う。

2次元の横ベクトルを矢印付きのアルファベットで表記すると、

となり、ベクトルの加算を成分同士を加算して得られる結果とする。

ベクトルの成分をｘ－ｙ座標軸で表すことを考えると、

ベクトルの加算は一つ目のベクトルの終点に二つ目のベクトルの始点をつないで

一つ目のベクトルの始点から二つ目のベクトルの終点までを加算結果とすることに対応している。

つなげる順番は逆でも同じ結果となる。

両方の場合をつないだものが平行四辺形の関係であり、ベクトルの重要な性質だ。

平面上の力は矢印をｘ方向とｙ方向に分解して成分とすれば、

2次元ベクトルとして議論できることになる。

次に矢印から離れて、

　ベクトルを複数の成分のセットとし、成分の数だけ自由度を持つ「数」のような要素

　ベクトル同士の加算は成分同士を加算する

と考えれば同じ議論ができる。

これが線形代数を学ぶ上でまずは大事なベクトルのイメージだと思う。 

そういったこともあり、

ベクトルを矢印付きでなく、太字でa, bと区別したり、通常の変数と同様にa, bとも表現する。